Бенуа Мандельброт – Байгалийн фрактал геометр – 3. Хэмжээс, тэгш хэм, дивергенц

fractalgeometry

Хэмжээсийн тухай ухагдахуун

1875-1925 оны хооронд математикт гарсан хямралын үеэр шулуун бус байдал, хэсэгчилсэн буюу фрагментацийн байдлын хэмжээсийг тодорхойлоход координат дээрх тоо хангалтгүй гэдгийг ухаарсан юм. Энэхүү тодорхой бус байдлыг шийдвэрлэх дорвитой алхмын эхнийхийг Германы математикч Георг Кантор 1877 онд, дараачийн алхмыг Италийн математикч Жузеппе Пеано 1890 онд, сүүлчийн алхмуудыг 1920-иод онд хийжээ.

Олон сэтгэлгээний ололтын адил энэхүү алхмуудын үр дүнг олон янзаар тайлбарлаж болно. Хэмжээсийн онолын талаар математикийн ном, сурах бичиг туурвих хэн бугай ч энэхүү онолыг гоц өвөрмөц гэх бий. Гэвч миний бодлоор хэмжээс хэмээх энэхүү тодорхойлоход бэрх ойлголт нь олон математикийн дүр төрхөөр илрэх учиртай санагдана. Иймээс өөр төрлийн тоон үнэлэмжээр илрэх бүрэн боломжтой. Гүн ухаантан Оккамийн Уильямийн нэгжийн талаар хэлсэнтэй адил хэмжээс нь хэрэгцээнээс давах хэмжээтэйгээр олшрох ёсгүй хэдий ч хэмжээс ийн олон янз байдлаар оршихоос зайлсхийх боломжгүй.

Евклид хэрэгцээт хэмжээсүүд давхцсан олонлогоор хязгаарлагдаж байв. Тиймээс тэдгээр олонлогийг хэмжээсийн хувьд нийцтэй гэж болно. Гэвч энэ бүлэгт өгүүлэх олонлогийн хэмжээсүүд нь хоорондоо нийцтэй байх боломжгүй учраас хэмжээсийн хувьд нийцгүй юм. Бид ийн математикийн хийсвэр хэмжээст олонлогоос хальж байгалийн биет обьектийн “үр дүнт” хэмжээсэээр загварчлагдсан олонлогийг авч үзэх болно.

Фрактал хэмээх нэршлийн тодорхойлолт

˂ Үндсэн фракталууд хэмжээсийн хувьд нийцгүй байх нь фракталын ойлголтыг хийсвэр байдлаас математикийн ойлголт болгоход хүргэнэ. Би энд хоёр төрлийн хэмжээсийг авч үзнэ. Эхнийх нь буюу илүү хийсвэр нь Брауэр, Лебег, Менгер, Урысон нарын гаргаж ирсэн топологийн хэмжээс бөгөөд бид DT гэж тэмдэглэнэ.   Хоёрдугаар хэмжээс нь 1919 онд Хаусдорфын гаргаж ирсэн, хожим нь эцсийн хэлбэрээ Безиковичийн ажлаар олсон юм. Энэ хэмжээсийг бид D хэмээн тэмдэглэнэ.

˂ Dнь бүхэл бол D нь бүхэл байх албагүй юм. Мөн энэ хоёр хэмжээс давхцах албагүй. Энэ хоёр хэмжээс зөвхөн Шпильрайны тэнцвэрт бус байдлыг хангана.

D≥DT

Гэвч Евклидийн геометрт энэ хоёр хэмжээс дор хаяж О-тэй, дээд тал нь Е-тэй тэнцүү юм (D=DT). Гэвч энэ эссен дэх бараг бүх олонлогууд D˃Dбайдлыг хангана. Иймийн учир би фрактал хэмээх нэршлийг гаргаж ирээд дараах байдлаар тодорхойлоход хүрсэн юм.

˂ Фрактал гэдэг нь Хаусдорф-Безиковичийн хэмжээс нь топологийн хэмжээсээс их байдаг олонлогийг хэлнэ.

˂ Бүхэл бус D-г агуулсан олонлог бүр фрактал. Жишээ нь Канторын олонлог нь фрактал юм.

D=log2/log3~0.6309>0

энд  DT=0 юм.

˂ Цаашлаад Кохийн муруй нь фрактал бөгөөд

Von_Koch_curve

D=log 4/log 3~1.2618> 1

энд  DT=1 юм.

˂ Гэхдээ фрактал бүхэл D-тэй байж болно. Брауны хөдөлгөөний шугаман хоцролт фрактал юм. Учир нь D=2 байхад DT=1 байх юм. Тиймээс D бол фрактал хэмжээс.

Brown_motion

Гармоник анализ дахь фракталууд

˂ Фракталын судалгааны нэг хэсэг нь гармоник анализийн геометрийн тал юм. Гармоник (спектраль болон Фурье) анализыг ихэнх уншигчид мэдэхгүй бөгөөд үр дүнтэй хэрэглэдэг цөөнх нь үндсэн бүтцийг нь ухаараагүй байдаг. Фрактал болон спектраль аргын аль аль нь өөрийн хүчтэй тал, шинж чанартай. Гэхдээ энэ хоёр аргыг тус тусад нь судлах нь зүйтэй. Эцэст нь хэлэхэд гармоник анализтай харьцуулахад фракталын судалгаа илүү хялбар юм.

Зарим шинэ ойлголтуудын тухай

Францын математикч Анри-Леон Лебег нэгэнтээ “зарим шинэ ойлголтуудыг тодорхойлох даруйд л ямар ч хэрэгцээгүй болчихдог” хэмээсэн байдаг. Үнэний ортой ч энэ байдал D-д хэзээ ч биелэхгүй. Гэхдээ D-ийн хэрэгцээ цэвэр математикийн хэдэн талбарт л танигдсан юм. Харин би D-г хамгийн анх байгалийг тодорхойлогч байдлаар амжилттай хэрэглэсэн билээ. Энэ ажлын нэг гол зорилго бол D-г эмпирик шинжлэх ухааны цөмд байрлуулах байсан юм. Ингэснээрээ үүний ач холбогдлыг асар өргөн гэдгийг илтгэхийг оролдсон билээ.

Физикийн хэд хэдэн салбар D-ийн ач холбогдлыг хүлээн зөвшөөрсөн билээ. Үнэн хэрэгтээ стандарт хэмжээс хангалтгүйг ухаж ойлгосон эдгээр салбарын эрдэмтэд аль хэдий нь тасархай, аномал, үргэлж хэмжээсүүд рүү тэмтчин эхэлсэн байжээ. Гэвч энэ мэтийн хэмжээсүүдийг дэмнэх математик онол бүрэн боловсроогүй байсан юм. Ер нь энэ тал дээр дэвшилд хүрэхийг зорих аваас математик онол амин чухал юм.

Формыг судлах математик судалгаа топологиос цааш шат ахих хэрэгтэй

Математикчаас форм (гадаргуун хэлбэр байдал) судлах сайтар тодорхойлогдсон салбар юу вэ гэвэл топологи л гэж хариулна. Топологийг өмнө нь байр байдлын геометр хэмээн нэрийдэж байв (τόπος гэдэг байр, байрлал гэсэн утгыг заадаг). Топологи ямар ч арлын эргийг адил хэлбэртэй гэж үздэг. Учир нь эрэг бүр топологийн үүднээс дугуй хэлбэртэй адилавтарт оршино. Энд илт байгаа нэг зүйл нь топологи мэдээжээр өөр өөр эргийн хэлбэрийг адил гэж үзэж байна.

reality_coastline

Гэвч өөр өөр эргүүд өөр өөр фрактал хэмжээстэй байдгийг тавдугаар бүлэгт үзүүлсэн билээ. Тиймээс энэ нь топологийн эргийн тухай ойлголтоос өөр бөгөөд үүнийг би фрактал хэлбэр гэж нэрлэхийг санал болгож байна.

Үр нөлөөт хэмжээс

Энэ хэмжээсийг нарийн тодорхойлох боломжгүй юм. Энэ хэмжээс Пифагорын эртний болхи геометртэй тэрсэлдэх учиртай. Үр нөлөөт хэмжээс нь математик олонлог болон байгалийн обьектуудын харилцааг тодорхойлно. Ямар ч обьектийг 3 хэмжээсээр илэрхийлж болно. Гэтэл физикчид даавуу, утас, бөмбөгийг тус бүр 2,1,0 хэмжээсийн нөлөөн дор дүгнэх хандлагатай байдаг. Тиймээс жишээ нь утсыг үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд 1 болон 3 хэмжээсийн олонлогийн онолд засвар оруулах шаардлага тулгарна.

Утсан бөмбөг дотор өөр өөр төрлийн үр нөлөөт хэмжээсүүд нуугдана

bdd63dd63d0f7423755861446bf46f9d

10 см-ийн диаметртэй утсан бөмбөгний утас 1 мм-ийн диаметртэй. Холоос бол энэ бөмбөг 0 хэмжээсийн буюу цэг байх болно. Ер нь Блез Паскаль болон түүнээс өмнөх дундад зууны үеийн гүн ухаантнууд бидний оршин буй ертөнц тэр чигтээ цэгнээс өөр юу ч биш гэснийг саная. 10 см-ийн ойроос харвал утсан бөмбөг маань 3 хэмжээст биет байх болно. 1 мм-ийн ойроос харвал нэг хэмжээст утасны орооцолдоо байх аж. Харин 0,1 мм хүртэл томруулан харвал утас бүр багана мэт 3 хэмжээст зүйл гэдэг нь мэдэгдэнэ. 0,01 мм-ийн ойроос бөмбөг дахин 1 хэмжээст болно. Энэ маягаар нэг хэмжээсээс нөгөө рүү шилжинэ. Ийн эцэст нь бөмбөгийг тодорхой тооны атомаар авч үзвэл дахин 0 хэмжээстэй болох юм. Бичгийн цаасыг ч мөн энэ байдлаар авч үзэхэд ийн олон хэмжээс сэлгэдэг.

Ийн хэмжээс сэлгэх тохиолдолд нэг чухал зүйлийг мартаж болохгүй. Энэ нь тэрхүү математикийн хэлээр найдвартай тодорхойлогдсон хэмжээсүүдийн шилжилтийн хэсгийг бид фрактал бүс гэх бөгөөд  нөхцөл D˃DT байна.

Орон зайд ижил тархалт, масштаб, өөрт адил чанар

Физикт даралт, температур, нягт зэрэг нь орон зайд ижил хэмжээтэй тархсан гэж үздэг. Евклидийн геометрт ч мөн адил хавтгайд цэгүүд адил хэмжээтэй тархсан гэдэг. Үүний давуу тал нь шилжилт хийх, масштабласан тохиолдолд энэхүү ижил  тархалт нь өөрчлөгдөхгүй. Фракталын хувьд хувирдаггүй чанарыг хамгийн сайнаар үзүүлэх боломжтой.

Translational_motion

Шилжилтийн тухайд брауны хөдөлгөөний дагуу зорчигч молекулууд хэзээ ч шулуун шугамтай адил давхцах боломжгүй ч энэ эссенд авч үзэж буй фракталууд нь бараг бүгд шилжилтийн явцад хувирдаггүй юм. Зарим төрлийн масштабын үед энэ эссенд дурдсан фракталууд мөн хувирахгүй. Үүнийг бид масштаблагч фрактал гэнэ.

Энгийн геометрийн адил чанарын дор хувирахгүй байгаа фракталыг өөрт адил чанартай гэж нэрлэнэ. Энд ижил тархалт, масштабыг зөвшөөрүүлэх гээд байгааг минь бүү буруугаар ойлгоорой.

Өөрт адил байх чанарын хувьд энэ нь хуучны санаа юм. 1700-аад онд Лайбниц шугамын өөрт адил байх чанартай гэдэг санааг дэвшүүлсэн. Мөн 1926 онд Льюис Ричардсон агаарын сөрөг урсгал нь хязгааргүй үргэлжлэх жижиг өөрт адил хэсгүүдэд хуваагдсаар байж болохыг харуулжээ. Гэхдээ уг эссений өмнөх хувилбар буюу 1975 онд Nature сэтгүүлд нийтлэгдсэн хувилбар дээр анх удаа геометрийн үүднээс стандарт бус масштабаар өөрт адил чанарыг харуулсан билээ.

Star_Fractal__Animated_Scale_by_vidthekid

Масштабаас цаашхи тэгш хэмт байдал

Евклид хувиршгүй байдлыг хамгийн сайн илтгэх шинж чанартай дүрсийг тэгш хэмт гэж байлаа. Харин энэ эссений 15-20-р бүлэгт масштаблашгүй фракталын тухай нарийн авч үзсэн болно. Өөрийгөө зураглагч, масштаблашгүй фракталын судалгаа нь “бэрх” хэмээгддэг сонгодог математик анализтай тун ойрын холбоотой.

Дивергенцийн синдром

Бидний судлах фрактал бүрт дивергенцийн синдром гэгч тааралдана. Өөрөөр хэлбэл эхэндээ хязгаартай, эерэг гэж сэтгэгдэж байсан бүхэн бүгд хязгааргүй болж таардаг. Анх удаадаа энэ мэтийн гаж араншин хүнийг айлгах чадалтай мэт. Гэвч нарийн шинжлэх юм бол энэ нь үнэхээр хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц байхаас гадна гол нь шинэ сэтгэхүйн барь сууринаас судлах хэрэгтэй гэдгийг ухаарсан юм. Квант физикт тэгш хэмт байдал, дивергенцтэй шууд холбоотой тохиолдлууд олон байдаг. Гэхдээ аз болоход олонх фракталын дивергенц нь шийдэхэд илүү хялбар байдаг билээ.

Орчуулгын эх: Benoît Mandelbrot – THE FRACTAL GEOMETRY OF NATURE 1977 (ISBN 0-7167-1186-9) p. 14-20

Advertisements

One thought on “Бенуа Мандельброт – Байгалийн фрактал геометр – 3. Хэмжээс, тэгш хэм, дивергенц

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s